懸鏈線：如果物體每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量均勻且僅受重力作用，則任何可自由懸掛的電纜或細(xì)繩所呈顯的形狀。

　　懸鏈線：如果物體每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量均勻且僅受重力作用，則任何可自由懸掛的電纜或細(xì)繩所呈顯的形狀。

　　17世紀(jì)初，天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）將橢圓形應(yīng)用于行星軌道的描述，而意大利科學(xué)家伽利略（Galileo）使用拋物線來(lái)描述沒有空氣阻力時(shí)的彈丸運(yùn)動(dòng)。受到圓錐形截面在這些環(huán)境中的巨大成功的啟發(fā)，伽利略錯(cuò)誤地認(rèn)為吊鏈會(huì)呈拋物線形。到了17世紀(jì)后期，荷蘭數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）指出，鏈曲線不能由代數(shù)方程給出（一個(gè)方程僅涉及算術(shù)運(yùn)算以及冪和根）。他也創(chuàng)造了懸鏈線一詞。除惠更斯外，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利和德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茲還為懸鏈線方程的完整描述做出了貢獻(xiàn)。

　　十九世紀(jì)，伽利略懷疑懸掛的鏈條實(shí)際上是拋物線。然而，在艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨發(fā)展了微分和積分學(xué)的框架之后，僅僅半個(gè)世紀(jì)之后，一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明就誕生了。

　　下面我們推導(dǎo)了懸鏈線的方程

　　假設(shè)在點(diǎn)A和點(diǎn)B處懸掛著一根比較重的均勻鏈，而點(diǎn)A和點(diǎn)B可能處于不同的高度

　　我們考慮鏈條中的一個(gè)小元素ΔS, 且分布在鏈條截面上的力是重力

　　ΔP=ρgAΔs,

　　ρ 是鏈材料的密度，G 是重力的加速度, A為橫截面積，拉力T(x) 和 T(x+Δx),分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)x和x+Δx

　　平衡條件： Δs 投影到 OX和 OY,可寫成

　　由第一個(gè)方程可知，拉力的水平分量T(x) 總是一個(gè)常數(shù)

　　利用微分第二個(gè)方程，我們可以把它寫成：由此得到

　　考慮到tanα(x）=y′，所以平衡方程的微分形式是

　　鏈元的長(zhǎng)度Δs 可以用公式表示出來(lái)

　　由此得到懸鏈線的微分方程:

　　這個(gè)方程的階可以簡(jiǎn)化。通過表示y′=z,我們可以把它表示成一階方程

　　上述方程可以通過分離變量來(lái)求解，在這里我們表示

　　懸鏈線最低點(diǎn)的切線平行于x軸。因此,

　　我們由此可以確定常數(shù)C1:

　　因此，我們得到:

　　方程兩邊同時(shí)乘以共軛表達(dá)式，則得到

　　加上前面的方程，我們得到了 z=y′的表達(dá)式

　　我們?cè)僖淮畏e分就給出了懸鏈線形狀的漂亮表達(dá):

　　因此，懸鏈線被描述為雙曲余弦函數(shù)。它的形狀由唯一的參數(shù)a=T0/ρgA確定

　　例如，帆在風(fēng)的壓力下形成懸鏈線(伯努利曾考慮過這個(gè)問題)

　　懸鏈線還有另一個(gè)有趣的特點(diǎn)。當(dāng)圍繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，懸鏈線給出稱為連環(huán)的懸鏈面。懸鏈面是微分幾何中很重要的一種曲面，該曲面具有最小的表面積，即鏈狀曲面的任何部分都小于由相同輪廓限定的其他任何曲面。

　　標(biāo)簽：涂裝懸掛鏈條